【科普論壇】爭鳴：小學數學教材有必要過度區分乘數與被乘數嗎？(下)

撰文 | 吳進遠

來源|《返樸》（微信ID：fanpu2019）

（续上期：03 不要人为制造难点与焦虑①）

03

不要人為製造難點與焦慮②

有的朋友可能會批評，你用方陣這個例子講乘法，等於把乘法交換律提前引進了，把難點集中了。實際上，讓學生看到一個比較明顯符合乘法交換律的例子沒有什麼不好，這恰恰為後面討論乘法交換律做了鋪墊，是分散了難點。

乘法交換律是個在相當早的階段就需要學生認識的事情，比如乘法口訣表裡有“三五十五”而沒有提“五三”等於多少，顯然在背會口訣之前，學生就必須明白3乘以5和5乘以3結果一樣。

交換律的自然本質是兩個操作可以按任意順序進行，而不會影響到結果。比如先數北坡3只羊，後數南坡4只羊，和反過來數，都能得到總數7只羊的結論。人類從類似的實踐活動中總結出了加法交換律。又比如一個方陣先按行數，還是先按列數，得到的總數都相同，從而認識乘法交換律。馬博士文章中提到有的教師朋友認為由於不區分被乘數與乘數，乘法交換律成了畫蛇添足，這個說法不對。實際上，無論我們是不是使用被乘數與乘數的表述，乘法交換律都是自然存在的。

在使用公理系統串連起來的算術學體系中，為了邏輯上的清晰，同時也為了體系一致對稱的數學之美，定義了被乘數與乘數。這樣的定義，暗示或明示了二者之間不一定可以交換。然後通過證明，再揭示兩者其實可以交換。作為理論體系，這麼處理完全是可以的。但是在小學學習中，這樣人為地繞一個圈，很難說對提高學生實質性的數學素養有多大幫助。人類的學習方法不是只有通過公理系統這一條路。我們當然希望讓學生受到公理系統訓練，這很必要，但這完全可以通過幾何以及其後的一系列課程實現。在學習算術的時候，看不出公理系統訓練的迫切性。事實上，即使在使用被乘數與乘數概念的年代中，小學教學引入乘法交換律的方式，通常也是用“你看”這樣的舉例歸納方法，從來沒有聽說哪位老師給學生講解了嚴格的證明。

如果把被乘數與乘數的概念上升成必須考試的內容，二者寫反了要扣分，則無異于給學生人為製造了一個學習難點，給家長老師製造了一個無妄的焦慮。一個孩子一生需要學的東西太多了，像區分被乘數與乘數這種無比重要的學習難點，完全可以等孩子將來長大，立志成為教師，去讀師範的時候再去摳。

04

不要矮化兒童

那麼，課綱上沒有列出被乘數與乘數，是不是教師就不許提被乘數這三個字呢？當然不是。我在微信文章中曾讀到“不要矮化兒童”這樣一句話，意思是說，我們不應該過低地估計學生的理解力。被乘數並不是一個錯誤術語，只不過在小學算術學習的過程中，其重要性不應人為地過分抬高而已。當我們需要指認乘法中第一個和第二個數（或者豎式中上面和下面的數）的時候，完全可以使用這個術語以方便敘述。同樣，馬博士的親民版表述：“每份數×份數=總數”，也完全可以在講課中使用。

如我們前面所說，即使我們講話真的有什麼不嚴謹，也不見得會誤導學生一輩子。而一個沒有錯誤的術語，僅僅是因為課綱中沒有列出，我們就不敢在講課中提，這就更沒有必要了。

05

結語

不要把課綱裡有沒有列出或區別某個概念知識當成大事。不要把課堂上該不該講某個“超綱”的概念知識當成大事。該當成大事的，是學懂知識本身。這就需要鼓勵教師們創新講解的視角，從而使學生輕鬆愉快不焦慮地理解知識概念。（全文完）

《返朴》：科学家领航的好科普

新媒體編輯：李偉強

審核校對：東方曉雲