【科普論壇】爭鳴：小學數學教材有必要過度區分乘數與被乘數嗎？(中)

(中)

撰文 | 吳進遠

來源|《返樸》（微信ID：fanpu2019）

(續上期：02知識概念的多視角理解與多支點記憶①)

02

知識概念的多視角理解與多支點記憶②

比如在中學物理中，速度和加速度是兩個貌似很容易混淆的概念。我們當然要強調這兩個物理量的定義，我們甚至會和學生咬文嚼字，加速度是“加速——度”，或者說加速的程度，而不是“加——速度”。但光靠這樣幾個說法，重複無數遍還是不那麼容易懂。

換個方式，我們在手機上下載安裝一個加速度計的軟件，把手機放在一個玩具小車上向前推動，軟體上就記錄了小車所經歷的不同運動階段的加速度。

上面圖中紅色曲線是沿著手機軸線的加速度。從大約0.7秒左右開始，我們推動小車，圖中顯示正向的加速度，小車速度逐漸增加。隨後有一段時間，軸向加速度基本為0，小車在這段時間中自由滑行。在2.5秒左右，小車碰到障礙物，加速度圖上呈現一個很大的負值，小車的速度在很短的時間中下降為0。  

通過這樣一個實驗，就可以看到加速度和速度這兩個概念分得清清楚楚，二者完全不是一回事。

實際上，很多講課不容易說清楚的概念，換個視角，做個實驗就可以講清楚。如果學生仍然不清楚，那麼就再換一個視角，再做一個實驗。比如把手機安在氣墊導軌上，比如把手機朝天上拋再接住。

03

不要人為製造難點與焦慮①

正如馬博士文章中談到的，我國小學數學教學的寶典之一是“突出重點，分散難點”。這是一個非常符合人類認識規律的有效舉措。

在這裡，重點是指知識概念技能本身的重要之點，而難點則是學習理解過程中可能會出現的理解障礙。有時候重點本身也是難點，比如線性代數教學中有一個說法，叫“線性相關，真是一關”，意思是說線性相關既是重要的知識，又是一個難講清楚的話題。但很多時候，重點和難點不是一回事。對於不同屆的學生，以及不同的學生個體，難點都可能不同。某個對多數人而言的難點，對有的學生可能不是事。而對多數人不是事的地方，有的聰明學生完全可能會繞進去半天出不來。

所謂分散難點，是指不追求一次把所有的事情講清楚，而是通過多次講解探討，逐步排除學生的理解障礙。這一逐步排除的過程，就包括了前面說的通過多個視角來理解相應的概念。

比如馬博士文章中談到，由於不區分被乘數與乘數，因此 5x3 = 3x5。這樣就必須解釋清楚 5+5+5 = 3+3+3+3+3，因而加重了認知負擔。在這個例子中，如果我們只拘泥於3個5或者5個3這樣的單一視角，確實有點難講。比如像下圖這個例子，很難一眼看出兩種情況下葡萄的總數一樣。

但我們換個視角，就沒有那麼難了。比如同學們每天要做課間操，排成3行，每行5個人，就是 5+5+5 一共15人。而同樣的方陣，也可以看成排成5列，每列3人，這就變成了 3+3+3+3+3 還是15人。或者把上面的葡萄擺成下圖的樣子，兩種演算法總數相等這個事實就非常直觀了。

更進一步，如果把課間操的情景，改成排列小方塊積木，則可以提前讓孩子接觸到了面積的概念。

（未完待續。歡迎關注下一期內容03不要人為製造難點與焦慮②）

《返朴》：科学家领航的好科普

新媒體編輯：李偉強

審核校對：東方曉雲