【科普論壇】爭鳴：小學數學教材有必要過度區分乘數與被乘數嗎？(上)

撰文 | 吳進遠

來源|《返樸》（微信ID：fanpu2019）

前言

最近，筆者看到馬立平博士的文章《小學數學教材中的嚴重問題》，認為2001年頒佈的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》取消被乘數和乘數的區別，把支撐著小學算術算理體系的“承重牆”打掉了，從而導致了算術算理體系的垮塌。對此，筆者希望對其中涉及的一些教育教學理念談點想法。筆者這篇文章的目的並不是反駁或批評馬博士的文章，而是想和讀者討論一點新的東西，因此內容會更寬泛一點。首先開列如下“太長不看版”。

（1）首先談一個和馬博士觀點不直接對嗆的看法：不管課綱裡怎麼寫，教師完全可以告訴學生被乘數和乘數等概念，也完全可以告訴學生馬博士的親民版表述：“每份數×份數=總數”。但這個概念不必要考試，更不要寫反了扣分。

下面的看法則有點唱反調，希望和大家討論交流。

（2）不需要把被乘數和乘數等概念比作“承重牆”。

（3）我們的話對學生沒有那麼重要，一句不嚴謹的話誤導學生一輩子這種事幾乎不會發生。教師固然應該避免講錯話，但也要避免為了嚴謹而把簡單的事情繞得太複雜。

（4）人們在學習很多知識體系時，往往能夠通過多視角理解，多支點記憶實現融會貫通。公理化數學證明方法是一種説明學生融會貫通的路徑，很有價值，但不應以此排斥其他路徑。

（5）教學要突出的重點是概念知識本身，對學生可能產生的理解難點可以分散在多個時段用多種角度幫助理解。但無論如何，在教學的過程中，不要人為製造難點與焦慮。

01

我們會誤導學生一輩子嗎？

筆者早年讀過中等師範學校，教過中學物理，後來又教過大學物理。做教師的人，往往會默認一條不證自明的“公理”：教師一句不嚴謹的話，會誤導學生一輩子。不過，當年胡傳魁有句粗話家喻戶曉：“刁參謀長放個P，也是香的？”同理，我們也可以質疑，我自己說句話，對學生真的有那麼重要嗎？事實上，我們在課堂上講那麼多話，學生們經常左耳朵聽右耳朵冒，因此被氣哭的女老師不是一個兩個。

從理論上說，教師一句不嚴謹的話，的確不排除會誤導學生一輩子，但事實上也存在很多反例。就拿被乘數和乘數這一對概念來說，在馬博士文章後面的留言中，有很多數學或物理學工作者談到自己區分不清楚二者。我自己上小學的時候也學過這對概念，但很快就混為一談了。後來某一天上課，老師說被乘數和乘數也可以都叫做因數，次序可以任意放，作為“lazy school boy”的自己，頓時感覺輕鬆了不少。我這個故事中老師的話倒沒有不嚴謹，但我自己從未記住嚴謹的被乘數和乘數這一對概念，按說問題要嚴重得多。但是我自己和前面這些朋友後來學線性代數、群論等數學課程的時候，並沒有遇到什麼困難。線性代數、群論中的向量矩陣等，在乘法中不存在交換律，但從未聽說哪個學生在這裡因被乘數與乘數傻傻分不清而卡住。在許多物理學乃至數學工作者可預見的科研生涯中，似乎也看不到心中數學大廈轟然倒塌的趨勢。因此，馬博士文章中“承重牆”的比喻並不恰當。

這些反例，證偽了老師一句話會誤導學生一輩子這個“公理”。

我們指出這個“公理”不成立，並不是說教師可以胡說八道。教師在上課中，仍然應該避免講錯話。我只是想說，教師在講話嚴謹的同時，也要避免為了嚴謹而把簡單的事情繞得太複雜。

很多難懂的概念，是可以通過多個角度的交叉表述幫助學生理解的，實現化繁為簡。如果教師害怕說話不嚴謹，幾節課翻來覆去只重複一種說法，則無異於作繭自縛。我們證偽上述“公理”的現實意義，就在於幫助教師摒除對不嚴謹的害怕，創新講授與解釋的視角。我們在後面展開討論這個問題。

02

知識概念的多視角理解與多支點記憶①

我們學習或教學實踐中，有時候會遇到幾個概念看似容易混淆，但其實並不是真的容易混淆，只是視角問題而已。遇到這種情形，最簡單可行的方法，就是有意識選擇多個視角去觀察討論理解概念，讓學生從不同的角度腦補出完整的拼圖。

就好比院子裡有兩棵樹，從北屋門口看，幾乎疊合在一起，稍微偏東一點的是槐樹，稍微偏西一點的是榆樹，這似乎很容易混淆。但如果站在西屋門口看，就可能發現兩棵樹其實分得清清楚楚，一棵靠北，一棵靠南，一點也不容易混淆。

（未完待續。歡迎關注下一期：02知識概念的多視角理解與多支點記憶②；03不要人為製造難點與焦慮①。掃描二維碼進入官網閱讀完整內容）

《返朴》：科学家领航的好科普

新媒體編輯：李偉強

審核校對：肖黎